Parmi les énigmes mathématiques, celles qui s’éclairent par un changement inattendu de domaine sont particulièrement intéressantes. En voici une dont j’ignore l’origine exacte mais dont la facture fait penser aux Olympiades internationales de mathématiques. L’énoncé concerne une équation fonctionnelle, le voici :
Trouvez toutes les fonctions f de R dans R telles que f [f (x)] = x² – 1 pour tout x. Il peut sembler naturel de chercher à utiliser une méthode analytique mais cela ne donne rien. En fait, de façon non directement visible, le problème est lié à la signature d’une certaine permutation. Pour montrer le lien, considérons la fonction g du second membre, définie par g (x) = x² – 1 pour tout x. Si la fonction f existe, la fonction composée f o f (définie par f o f (x) = f [f (x)]) vérifie f o f = g. On en déduit que f et g o g commutent, soit : g o g o f. = f o g o g. Cette égalité est liée aux points fixes de g o g ! En effet, si x vérifie g o g (x) = x, en portant ce résultat dans l’équation précédente : (g o g) [f (x)] = f (x) donc f (x) est un point fixe de g o g. Autrement dit, f est une application de l’ensemble des points fixes de g o g dans lui-même. On démontre de plus, en utilisant f o f = g que f restreint à l’ensemble de ces points fixes est une permutation. Les points fixes de g o g. Parmi les points fixes de g o g, on trouve d’abord ceux de g. Ce sont les solutions de l’équation x² – 1 = x que l’on peut écrire x² – x – 1 = 0 d'où deux points fixes a et b faciles à calculer (en fonction de la racine carrée de 5). De même, g o g a pour points fixes, les solutions de l’équation (x² – 1)² – 1 = x qui s’écrit (x² – x – 1) x (x + 1) = 0 d’où les quatre points fixes a, b, c et d où c = –1 et d = 0. La fonction g restreinte à l’ensemble des quatre éléments {a, b, c, d} est la transposition qui échange c et d. La fonction f restreinte au même ensemble est une application dont le carré est une transposition ce qui est impossible.
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AuteurJe tiens un blog de vulgarisation mathématique sur Futura où je réduis les côtés techniques au maximum. Ce blog est destiné à le compléter pour ceux qui désirent aller plus loin. ArchivesCatégories |
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